Fjlpqce

Биноми Хайём-Нютон — формулаест барои ба ҷамъшавандаҳои алоҳида паҳн намудани дараҷаи суммаи ду тағйирёбанда:

${\displaystyle (a+b{)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-<!--\; -\; -->1}b+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-<!--\; -\; -->k}{b}^k+\cdots <!--\; \cdots \; -->+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n}$, (1)

ки ин ҷо ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-<!--\; -\; -->k)!}=C_n^k}$ — зариби биномалӣ, ${\displaystyle n}$ — адади бутуни ғайриманфӣ мебошанд. .

Ҷадвале, ки рафти ҳисоб кардани зарибҳои биномалиро барои дараҷаҳои натуралӣ осон менамояд, шакли секунҷа дошта, секунҷаи Паскал номида мешавад. Соли 1676 Нютон формулаи биномро барои дараҷаи дилхоҳи ратсионалӣ (мусбат ё манфӣ) исбот намуд (онро танҳо соли 1826 Н. Абел исботи дақиқ кард). Дар ҳолати ғайринатуралӣ будани зарибҳои биномалӣ аз рӯйи формулаи

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{k!}\underset{n=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(r-<!--\; -\; -->n)=\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)(n-<!--\; -\; -->2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(n-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1))}{k!}}$

ҳисоб карда шуда, тарафи рости формулаи (1) ба қатори беохир мубаддал мегардад.

Формулаи биноми Хайём-Нютонро барои дараҷаи бутуни мусбат ҳанӯз дар асри 11 олими тоҷик Умари Хайём медонист. Хайём бори аввал аз таҳти решаи дараҷаи n-ум баровардани қимати тақрибии ададро нишон додааст, ки он ба ҳисоб кардани ифодаи (1) вобастагӣ дошт:

Хайём дар «Рисола фӣ-л-бароҳин ало-масоил-ил-ҷабр ва-л-муқобала» хотиррасон мекунад, ки ифодаҳои (1) ва (2)-ро таҳлил кардааст ва исботи онро дар «Мушкилот-ул-ҳисоб» метавон пайдо кард. Мутаассифона, ин асари Хайём то ҳол дастрас нагардидааст, вале усул ва тарзи татбиқи формулаи Хайём дар асарҳои пайравони ӯ Насируддини Тӯсӣ, Ҷамшеди Кошонӣ, Алоуддини Қушчӣ ва Наҷмуддин Алихон пурра баён ёфтаанд. Онҳо қоидаи Хайёмро тақвият дода, тарзи ёфтани зарибҳои мобайниро низ нишон доданд.

Формулаи биноми Хайём-Нютон дар фаслҳои гуногуни математика (алгебра, назарияи ададҳо ва ғ.) васеъ татбиқ мешавад.

Эзоҳ[вироиш]

Сарчашма[вироиш]

• Биноми Хайём-Нютон / С. Исҳоқов // Асос — Боз. — Д. : СИЭМТ, 2013. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2017, ҷ. 2). — ISBN 978-99947-33-52-4.

Шаблон:Algebra-stub